Question

19．已知集合M={x∈R，|px²-2x+3=0，x∈R}．
（1）若M中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)p的值，并求出相應(yīng)的集合M；
（2）若M中最多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)p=0時(shí)，解得x=$\frac{3}{2}$，符合題意，當(dāng)p≠0時(shí)，只需△=0，求解即可得答案；
（2）M中最多有一個(gè)元素包括M中只有一個(gè)元素和M空集兩種情況，分類(lèi)討論即可求得答案．

解答 解：（1）若M中只有一個(gè)元素，當(dāng)p=0時(shí)，原方程化為-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，符合題意，
當(dāng)p≠0時(shí)，只需△=4-12p=0，即p=$\frac{1}{3}$，由$\frac{1}{3}$x²-2x+3=0，解得x=3，即M={3}．
當(dāng)p=0時(shí)，M={x|$x=\frac{3}{2}$}，
綜上，p=$\frac{1}{3}$時(shí)，M={3}或p=0時(shí)，M={$\frac{3}{2}$}．
（2）若M中最多有一個(gè)元素，當(dāng)p=0時(shí)，解得x=$\frac{3}{2}$，符合題意，
當(dāng)p≠0時(shí)，△≤0，即4-12p≤0，解得p≥$\frac{1}{3}$．
綜上，實(shí)數(shù)p的取值范圍為：{0}∪[$\frac{1}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的表示法，考查了一元二次方程的解的個(gè)數(shù)的判斷問(wèn)題，要注意對(duì)最高次數(shù)項(xiàng)是否為零的討論，是中檔題．