5.設(shè)f(x)在[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,且a≤f(x)≤b,試問:在[a,b]中是否存在常數(shù)c,使得f(c)=c.

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-x,根據(jù)根的存在性定理進(jìn)行證明即可.

解答 解:構(gòu)造函數(shù) g(x)=f(x)-x 顯然 g(x) 在[a,b]上的圖象也是一條連續(xù)不斷的曲線,
因為在[a,b]上總有a≤f(x)≤b,
所以在[a,b]上總有 a-x≤f(x)-x≤b-x,
即在[a,b]上總有a-x≤g(x)≤b-x,
所以g(a)≥a-a=0,
g(b)≤b-b=0,
所以由根的存在性定理得在[a,b]上至少有一個解,
即方程f(x)-x=0 在[a,b]上至少有一個解,
即在[a,b]上至少有一個常數(shù) c,使得 f(c)-c=0,即f(c)=c.

點評 本題主要考查函數(shù)零點的判斷,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)零點存在的定理是解決本題的關(guān)鍵.

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