Question

10．已知元素為實(shí)數(shù)的集合S滿足下列條件：①0∉S，1∉S；②若a∈S，則$\frac{1}{1-a}$∈S．
（Ⅰ）若{2，-2}⊆S，求使元素個(gè)數(shù)最少的集合S；
（Ⅱ）若非空集合S為有限集，則你對(duì)集合S的元素個(gè)數(shù)有何猜測(cè)？并請(qǐng)證明你的猜測(cè)正確．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用①0∉S，1∉S；②若a∈S，則$\frac{1}{1-a}$∈S，求出集合的元素，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）非空有限集S的元素個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)．與（Ⅰ）同法，即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）2∈S，則-1∈S，$\frac{1}{2}$∈S，可得2∈S；-2∈S，則$\frac{1}{3}$∈S，$\frac{3}{2}$∈S，可得-2∈S，
∴{2，-2}⊆S，使元素個(gè)數(shù)最少的集合S為{2，-1，$\frac{1}{2}$，-2，$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{2}$}．------------------------（5分）
（Ⅱ）非空有限集S的元素個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)．
證明如下：
（1）設(shè)a∈S則a≠0，1且a∈S，則$\frac{1}{1-a}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=$\frac{a-1}{a}$∈S，$\frac{1}{1-\frac{a-1}{a}}$=a∈S
假設(shè)a=$\frac{1}{1-a}$，則a²-a+1=0（a≠1）m無實(shí)數(shù)根，故a≠$\frac{1}{1-a}$．
同理可證a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$兩兩不同．
即若有a∈S，則必有{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}⊆S．
（2）若存在b∈S（b≠a），必有{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}⊆S．{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$}∩{b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}=∅．
于是{a，$\frac{1}{1-a}$，$\frac{a-1}{a}$，b，$\frac{1}{1-b}$，$\frac{b-1}$}⊆S．
上述推理還可繼續(xù)，由于S為有限集，故上述推理有限步可中止，
∴S的元素個(gè)數(shù)為3的倍數(shù)．-------------------------------------------------------------（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查集合元素的確定，難度大．