Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A，B是橢圓C上的任意兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，
①求證：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出該定值；
②任取以橢圓C的長(zhǎng)軸為直徑的圓上一點(diǎn)P，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意可得：

c

a

=

3

2

，a=2，a²=b²+c²，解出即可得出；
（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=±

2 5

5

，原點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 5

5

是定值．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，由于

OA

⊥

OB

，可得

OA

•

OB

=0，可得m2=

4+4k2

5

．即可得出原點(diǎn)O到直線AB的距離=

|m|

1+k2

．
②當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，|AB|=

4 5

5

．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式與基本不等式的性質(zhì)可得|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

≤

5

（k≠0）．當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=

4 5

5

．可得|AB|的最大值為

5

．
由①可知：點(diǎn)P到直線AB的距離最大值為

2 5

5

+2，即可得出S_△PAB最大值=

1

2

×

5

(

2 5

5

+2)．

解答： （1）解：由題意可得：

c

a

=

3

2

，a=2，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，c=

3

，b=1．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=±

2 5

5

，原點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 5

5

是定值．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=kx+m x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（1+4k²-m²）＞0，
x1+x2=

-8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
∵

OA

⊥

OB

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

5m2-4-4k2

1+4k2

=0，
∴m2=

4+4k2

5

．
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離=

|m|

1+k2

=

4+4k2 5

1+k2

=

2 5

5

．
綜上可得：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值

2 5

5

．
②解：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，|AB|=

4 5

5

．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4

5

1+ 9k2 16k4+8k2+1

，
當(dāng)k≠0時(shí)，|AB|=

4

5

1+ 9 16k2+ 1 k2 +8

≤

5

，當(dāng)且僅當(dāng)k=±

1

2

時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=

4 5

5

．
∴|AB|的最大值為

5

．
由①可知：點(diǎn)P到直線AB的距離最大值為

2 5

5

+2，
∴S_△PAB最大值=

1

2

×

5

(

2 5

5

+2)=1+

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．