Question

3．已知f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當x＞0時，2f（x）＞xf′（x），且f（1）=1，若存在x∈R⁺，使f（x）=x²，則x的值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)得到，g（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，根據(jù)f（1）=1，即可求出f（x）=x²的解

解答 解：根據(jù)題意，令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，
則g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵當x＞0時，2f（x）＞xf′（x），
∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∵f（1）=1，
∴g（1）=$\frac{f（1）}{{1}^{2}}$=1，
∵f（x）=x²，
∴g（x）=1=g（1），
∴x=1
故答案為：1

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，想到通過構(gòu)造函數(shù)解決．