Question

5．如圖，有一塊邊長為1（百米）的正方形區(qū)域ABCD．在點A處有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45°（其中點P，Q分別在邊BC，CD上），設(shè)BP=t．
（I）用t表示出PQ的長度，并探求△CPQ的周長l是否為定值；
（Ⅱ）設(shè)探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S（平方百米），求S的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由BP=t，得CP=1-t，0≤t≤1，設(shè)∠PAB=θ，則∠DAQ=45°-θ，分別求出CP，CQ，PQ即可得到求出周長l=2，問題得以解決；
（Ⅱ）根據(jù)S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ得到S=2-（$\frac{t+1}{2}$+$\frac{1}{t+1}$），根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可求出S的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由BP=t，得CP=1-t，0≤t≤1，
設(shè)∠PAB=θ，
則∠DAQ=45°-θ，
DQ=tan（45°-θ）=$\frac{1-t}{1+t}$，CQ=1-$\frac{1-t}{1+t}$=$\frac{2t}{1+t}$，
∴PQ=$\sqrt{C{P}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{（1-t）^{2}+（\frac{2t}{1+t}）^{2}}$=$\frac{1+{t}^{2}}{1+t}$，
∴l(xiāng)=CP+CQ+PQ=1-t+$\frac{2t}{1+t}$+$\frac{1+{t}^{2}}{1+t}$=1-t+1+t=2，是定值
（Ⅱ）S=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△ADQ=1×1-$\frac{1}{2}$×1×t-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1-t}{1+t}$，
=1-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-t}{1+t}$=1-$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{1+t}$），
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{t}{2}$-$\frac{1}{t+1}$，
=2-（$\frac{t+1}{2}$+$\frac{1}{t+1}$），
由于1+t＞0，
則S=2-（$\frac{t+1}{2}$+$\frac{1}{t+1}$）≤2-2$\sqrt{\frac{t+1}{2}•\frac{1}{t+1}}$=2-$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{t+1}{2}$=$\frac{1}{t+1}$，即t=$\sqrt{2}$-1時等號成立，
故探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S最多為2-$\sqrt{2}$平方百米．

點評 本題考查三角函數(shù)知識的運用，考查和角公式的運用，考查面積的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．