Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且橢圓C上的點到右焦點F的距離的最大值為2$\sqrt{2}$+2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F且不與x軸垂直或重合的直線l與橢圓C交于M、N兩點，問：x軸上是否存在點P，使得∠OPM=∠OPN？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意知$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a+c=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）假設(shè)存在，從而可設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$化簡可得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0，從而可得x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，易知M，N′，P三點共線，從而可得（x₁-x₀）y₂+（x₂-x₀）y₁=0，從而化簡可得．

解答 解：（1）由題意知，
$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a+c=2\sqrt{2}+2}\end{array}\right.$，
解得，a=2$\sqrt{2}$，c=2，b=2；
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）假設(shè)存在點P，使得∠OPM=∠OPN，由題意，
點F（2，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），
點N（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N′（x₁，-y₁），P（x₀，0）；
聯(lián)立方程可得，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
化簡可得，
（2k²+1）x²-8k²x+8k²-8=0，
故x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$，
∵∠OPM=∠OPN，N與N′關(guān)于x軸對稱，
∴M，N′，P三點共線，
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₂-x₀，y₂），$\overrightarrow{PN′}$=（x₁-x₀，-y₁），
∴（x₁-x₀）y₂+（x₂-x₀）y₁=0，
即（x₁-x₀）k（x₂-2）+（x₂-x₀）k（x₁-2）=0，
即2x₁x₂-2（x₁+x₂）+[4-（x₁+x₂）]x₀=0，
即2$\frac{8{k}^{2}-8}{2{k}^{2}+1}$-2$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$+[4-$\frac{8{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$]x₀=0，
解得，x₀=4，
故點P的坐標(biāo)為（4，0）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了平面向量的應(yīng)用．