Question

7．對于定義在R上的函數(shù)f（x）滿足兩個條件：①當(dāng)x∈[0，1]時，f（0）=0，f（1）=e，f（x）-f′（x）＜0；②e^x-1f（x+1）=e^x+1f（x-1），e^1-xf（x+1）=e^x+1f（1-x），若函數(shù)y=f（x）-$\frac{x{e}^{x}}{2016}$零點的個數(shù)為（　�。�

• A． 1008
• B． 2015
• C． 2016
• D． 2017

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性和對稱性，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)與方程之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：設(shè)h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，由e^x-1f（x+1）=e^x+1f（x-1），
得$\frac{f（x+1）}{{e}^{x+1}}$=$\frac{f（x-1）}{{e}^{x-1}}$．即h（x+1）=h（x-1），即h（x+2）=h（x），函數(shù)的周期是2，
由e^1-xf（x+1）=e^x+1f（1-x），
得$\frac{f（x+1）}{{e}^{x+1}}$=$\frac{f（1-x）}{{e}^{1-x}}$．即h（x+1）=h（1-x），即函數(shù)關(guān)于x=1對稱，
h′（x）=[$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$]'=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（0）=0，f（1）=e，f（x）-f′（x）＜0，
∴h′（x）=[$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$]'=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，此時函數(shù)h（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴h（0）=0，h（1）=1，
由y=f（x）-$\frac{x{e}^{x}}{2016}$=0得$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{x}{2016}$，
即h（x）=$\frac{x}{2016}$，
作出函數(shù)h（x）和y=$\frac{x}{2016}$的圖象如圖：
當(dāng)x∈[0，2016]時，在每個周期內(nèi)，h（x）和y=$\frac{x}{2016}$的圖象有2個交點，
則共有1008個周期，則函數(shù)y=f（x）-$\frac{x{e}^{x}}{2016}$零點的個數(shù)為2016，
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，周期性和對稱性，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．