Question

14．某公司的兩個(gè)部門招聘工作人員，應(yīng)聘者從 T₁、T₂兩組試題中選擇一組參加測(cè)試，成績(jī)合格者可簽約．甲、乙、丙、丁四人參加應(yīng)聘考試，其中甲、乙兩人選擇使用試題 T₁，且表示只要成績(jī)合格就簽約；丙、丁兩人選擇使用試題 T₂，并約定：兩人成績(jī)都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．已知甲、乙考試合格的概率都是$\frac{1}{2}$，丙、丁考試合格的概率都是$\frac{2}{3}$，且考試是否合格互不影響．
（I）求丙、丁未簽約的概率；
（II）記簽約人數(shù)為 X，求 X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （I）分別記事件甲、乙、丙、丁考試合格為 A，B，C，D．由題意知 A，B，C，D相互獨(dú)立，且${P}（{A}）={P}（{B}）=\frac{1}{2}$，${P}（C）={P}（D）=\frac{2}{3}$．記事件“丙、丁未簽約”為F，由事件的獨(dú)立性和互斥性得能求出丙、丁未簽約的概率．
（II） X的所有可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)在的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）分別記事件甲、乙、丙、丁考試合格為 A，B，C，D．
由題意知 A，B，C，D相互獨(dú)立，且${P}（{A}）={P}（{B}）=\frac{1}{2}$，${P}（C）={P}（D）=\frac{2}{3}$．
記事件“丙、丁未簽約”為F，
由事件的獨(dú)立性和互斥性得：
P（F）=1-P（CD）…（3分）
=$1-\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{5}{9}$…（4分）
（II） X的所有可能取值為0，1，2，3，4．…（5分）
${P}（{{X}=0}）={P}（{\overline{{A}{B}}}）{P}（F）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}=\frac{5}{36}$，
${P}（{{X}=1}）={P}（{{A}\bar{B}}）{P}（F）+{P}（{\bar{A}{B}}）{P}（F）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}=\frac{5}{18}$，
${P}（{{X}=2}）={P}（{{A}{B}F}）+{P}（{\bar{A}\bar{B}CD}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{5}{9}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{4}$，
${P}（{{X}=3}）={P}（{{A}\bar{B}CD}）+{P}（{\bar{A}{B}CD}）=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$，
${P}（{{X}=4}）={P}（{{A}{B}CD}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{9}$．
所以，X的分布列是：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

…（12分）
X的數(shù)學(xué)期望${E}{X}=0×\frac{5}{36}+1×\frac{5}{18}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{2}{9}+4×\frac{1}{9}=\frac{17}{9}$…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．