Question

17．已知向量$\overrightarrow{{A}{B}}$、$\overrightarrow{{A}C}$、$\overrightarrow{{A}D}$滿足$\overrightarrow{{A}C}=\overrightarrow{{A}{B}}+\overrightarrow{{A}D}$，$|{\overrightarrow{{A}{B}}}|=2$，$|{\overrightarrow{{A}D}}|=1$，E、F分別是線段BC、CD的中點．若$\overrightarrow{D{E}}•\overrightarrow{{B}F}=-\frac{5}{4}$，則向量$\overrightarrow{{A}{B}}$與向量$\overrightarrow{{A}D}$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結合$\overrightarrow{D{E}}•\overrightarrow{{B}F}=-\frac{5}{4}$求得$＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{π}{3}$，從而向量$\overrightarrow{{A}{B}}$與向量$\overrightarrow{{A}D}$的夾角為$\frac{π}{3}$．

解答 解：如圖
$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BF}$=$（\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}）（\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}）=\frac{5}{4}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{CD}^2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{CB}^2}=-\frac{5}{4}$．
由$|{\overrightarrow{CD}}|=|{\overrightarrow{AB}}|=2$，$|{\overrightarrow{BC}}|=|{\overrightarrow{AD}}|=1$，可得$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}=1$
∴cos$＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CD}＞$=$\frac{1}{2}$，則$＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CD}＞=\frac{π}{3}$，
從而向量$\overrightarrow{{A}{B}}$與向量$\overrightarrow{{A}D}$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量的加法、減法法則，是中檔題．