Question

若存在非零常數(shù)p，對任意的正整數(shù)n，a_n+1²=a_na_n+2+p，則稱數(shù)列{a_n}是“T數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²（n∈N^*），求證：{a_n}是“T數(shù)列”；
（2）設(shè){a_n}是各項均不為0的“T數(shù)列”．
①若p＜0，求證：{a_n}不是等差數(shù)列；
②若p＞0，求證：當a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列時，{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由S_n=n²求出數(shù)列的通項公式，代入a_n+1²=a_na_n+2+p成立，說明數(shù)列{a_n}是“T數(shù)列”；
（2）①由反證法，若{a_n}是等差數(shù)列，代入a_n+1²=a_na_n+2+p得到小于0的p不存在，說明假設(shè)錯誤；
②由a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，代入a_n+1²=a_na_n+2+p得到p=d²，由同一法說明{a_n}是等差數(shù)列．

解答： 證明：（1）由S_n=n²，得a_n=2n-1，
a_n+1²=（2n+1）²=4n²+4n+1，
a_na_n+2=（2n-1）（2n+3）=4n²+4n-3，
∴a_n+1²=a_na_n+2+4，
∴{a_n}是“T數(shù)列”；
（2）①由a_n+1²=a_na_n+2+p，p＜0，
若{a_n}是等差數(shù)列，則an+1=

an+an+2

2

，
代入a_n+1²=a_na_n+2+p，得an2+2anan+2+an+22=4anan+2+4p，
即(an-an+2)2=4p，
∵p＜0，此式顯然不成立，
∴{a_n}不是等差數(shù)列；
②由a_n+1²=a_na_n+2+p，得a22=a1a3+p，
當a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列時，
則(

a1+a3

2

)2=a1a3+p，即p=d²．
∴a_n+1²=a_na_n+2+d²．
假設(shè){a_n}是公差為d的等差數(shù)列，
則a_n+1=a_n+d，a_n+2=a_n+2d，
代入a_n+1²=a_na_n+2+d²成立．
∴假設(shè)成立，即{a_n}是公差為d的等差數(shù)列．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．