Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為3，公差為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的前n項和．
（2）求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）求出等差數(shù)列的通項，再求數(shù)列{a_n}的前n項和．
（2）留利用裂項法，即可求數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和．

解答 解：（1）由已知得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為3，公差為2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
∴S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n，
即數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=n²+2n．
（2）由（1）可知S_n=n²+2n，
∴$\frac{1}{Sn}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為$\frac{1}{2}×（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
故數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查裂項法求和，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．