Question

設(shè)函數(shù)f（x）是實數(shù)集R上的單調(diào)增函數(shù)，令F（x）=f（x）-f（2-x）．
（1）求證：F（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）若F（x₁）+F（x₂）＞0，求證：x₁+x₂＞2．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用單調(diào)性的定義來證明F（x）是增函數(shù)，基本步驟是：一取值，二作差（商），三判定，四結(jié)論；
（2）由F（x₁）+F（x₂）＞0，得到F（x₁）＞-F（x₂）＞0；由F（x）=f（x）-f（2-x）變形，得F（2-x₂），即F（x₁）＞-F（x₂）＞0，從而證出結(jié)論．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-f（2-x₁）]-[f（x₂）-f（2-x₂）]=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]；
∵f（x）是實數(shù)集R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0，
由x₁＜x₂，得-x₁＞-x₂，
∴2-x₁＞2-x₂，
∴f（2-x₁）＞f（2-x₂），
∴f（2-x₂）-f（2-x₁）＜0，
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]＜0；
即F（x₁）＜F（x₂）；
∴F（x）是R上的增函數(shù)．
（2）證明：∵F（x₁）+F（x₂）＞0，
∴F（x₁）＞-F（x₂）＞0；
由F（x）=f（x）-f（2-x）知，
-F（x₂）=-[f（x₂）-f（2-x₂）]=f（2-x₂）-f（x₂）=f（2-x₂）-f[2-（2-x₂）]=F（2-x₂），
∴F（x₁）＞F（2-x₂）；
又F（x）是實數(shù)集R上的增函數(shù)，
所以x₁+＞2-x₂．，
即x₁+x₂＞2．

點評：本題考查了利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用，是有一定難度的題目