Question

13．已知A、B、C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量$\overrightarrow{m}$滿足|$\overrightarrow{m}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，且$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$sin$\frac{B+C}{2}$，cos$\frac{B-C}{2}$），若A最大時(shí)，動點(diǎn)P使得|$\overrightarrow{PB}$|、|$\overrightarrow{BC}$|、|$\overrightarrow{PC}$|成等差數(shù)列，則$\frac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}$的最大值是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$sin$\frac{B+C}{2}$，cos$\frac{B-C}{2}$），兩邊平方可得cosBcosC=3sinBsinC，可得tanBtanC=$\frac{1}{3}$，運(yùn)用兩角的正切公式，和基本不等式可得當(dāng)A最大時(shí)，C=B=30°，由|PB|，|CB|，|PC|成等差數(shù)列，知M的軌跡是以C，B為焦點(diǎn)、2|CB|為長軸的橢圓，由此能求出$\frac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}$的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$²=（$\sqrt{2}$sin$\frac{B+C}{2}$）²+（cos$\frac{B-C}{2}$）²
=1-cos（B+C）+$\frac{1}{2}$（1+cos（B-C））=$\frac{3}{2}$，
即有2cos（B+C）=cos（B-C），
即為2cosBcosC-2sinBsinC=cosBcosC+sinBsinC，
即有cosBcosC=3sinBsinC，
可得tanBtanC=$\frac{1}{3}$，
tanA=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$
=-$\frac{3}{2}$（tanB+tanC）≤-3$\sqrt{tanBtanC}$=-$\sqrt{3}$，
即有B=C時(shí)，tanA取得最大值-$\sqrt{3}$，
即A取最大角120°，此時(shí)B=C=30°，
∵若A最大時(shí)，動點(diǎn)P使得|$\overrightarrow{PB}$|、|$\overrightarrow{BC}$|、|$\overrightarrow{PC}$|成等差數(shù)列，
∴|PC|+|PB|=2|BC|，
∴P的軌跡是以C，B為焦點(diǎn)、2|BC|為長軸的橢圓，
∵比值與單位的選擇無關(guān)，∴設(shè)|BC|=2，CB的中點(diǎn)為O，
由C=B，知|AO|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直觀判斷，當(dāng)P是上述橢圓的短軸端點(diǎn)（與點(diǎn)A在CB的兩側(cè)），
這時(shí)|OP|=$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查斜率模的比值的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量、數(shù)列、橢圓等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用．