Question

4．已知命題p：關于x的方程x²-ax+4=0無實根；命題q：關于x的函數(shù)y=x²-2ax+4在[1，+∞）上是增函數(shù)，若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：關于x的方程x²-ax+4=0無實根，可得△＜0；命題q：關于x的函數(shù)y=x²-2ax+4在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得a≤1．若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命題p：關于x的方程x²-ax+4=0無實根，∴△=a²-16＜0，解得-4＜a＜4；
命題q：關于x的函數(shù)y=x²-2ax+4在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴a≤1．
若“p或q”是真命題，“p且q”是假命題，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4＜a＜4}\\{a＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤-4或a≥4}\\{a≤1}\end{array}\right.$，
解得1＜a＜4，a≤-4．
∴實數(shù)a的取值范圍是1＜a＜4或a≤-4．

點評 本題考查了函數(shù)的性質、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．