Question

14．如圖，DC⊥平面ABC，∠BAC=90°，AC=1，BC=2，CD=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，點(diǎn)E在BD上，且BE=3ED．
（Ⅰ）求證：AE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）在平面BCD中，作EH⊥BC于H．平面BCD中，可得EH∥CD，結(jié)合DC⊥面ABC得EH⊥面ABC．連AH，取BC中點(diǎn)M，可證出△ACM是正三角形，且H是MC中點(diǎn)，得AH⊥BC，所以BC⊥面AHE，從而得到BC⊥AE；
（II）作BO⊥AE于O，連CO．結(jié)合（I）的結(jié)論證出AE⊥平面BCO，所以∠BOC就是B-AE-C的平面角．利用勾股定理，計(jì)算出△BOC的各邊長，最后用余弦定理，得出二面角B-AE-C的余弦值．

解答 （I）證明：在平面BCD中，作EH⊥BC于H，
∵平面BCD中，CD⊥BC，EH⊥BC，∴EH∥CD，得$\frac{ED}{BD}$=$\frac{CH}{BC}$=$\frac{1}{4}$
∵DC⊥面ABC，∴EH⊥面ABC
連AH，取BC中點(diǎn)M，
∵Rt△ABC中，AC=1，BC=2，∴cos∠ACB=$\frac{1}{2}$，得∠ACB=60°
∵AM=CM=$\frac{1}{2}$BC，∴△ACM是正三角形，
∵CH=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$MC，∴H是MC中點(diǎn)，得AH⊥BC
∵EH⊥BC，AH∩EH=H，∴BC⊥面AHE
∵AE⊆平面AHE，∴BC⊥AE…（6分）
（II）作BO⊥AE于O，連CO
∵BC⊥AE，BO、BC是平面BOC內(nèi)的相交直線，∴AE⊥平面BCO，
結(jié)合OC⊆平面BCO，得AE⊥OC，所以∠BOC就是B-AE-C的平面角…（10分）
AC=1，BC=2，AB=$\sqrt{3}$，CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
Rt△EHC中，EH=$\frac{3}{4}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$，
∴CE=$\sqrt{{EH}^{2}+{CH}^{2}}$=1
∵Rt△AEH中，AH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴AE=$\sqrt{{EH}^{2}+{AH}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
在△AEC中，CE=AE=1，CO⊥AE，得CO=$\sqrt{{AE}^{2}+（\frac{1}{2}AC）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
在△ABO中，BO=$\sqrt{{AB}^{2}-{AO}^{2}}$=$\frac{\sqrt{42}}{4}$
∴△BOC中，cos∠BOC=$\frac{{BO}^{2}+{CO}^{2}-{BC}^{2}}{2BO•CO}$=-$\frac{6}{\sqrt{420}}$=-$\frac{\sqrt{105}}{35}$
所以二面角B-AE-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{105}}{35}$…（14分）．

點(diǎn)評(píng) 本題在三棱錐中，證明線面垂直并求二面角的平面角余弦之值，著重考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和二面角的平面角的作法和求解等知識(shí)，屬于中檔題．