Question

9．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，PA=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{3}$，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：平面PCD⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）利用線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)定理證明．
（2）利用面面垂直的判定定理證明．

解答 證明（1）取PB中點(diǎn)M，連接FM、MA，
∵F，M為PC，PB的中點(diǎn)，
∴FM∥BC，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$BC，（中位線定理），
∵ABCD是平行四邊形且E是AD的中點(diǎn)，
∴AE∥BC，AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴FM∥AE，F(xiàn)M=AE，
即四邊形FMAE是平行四邊形，
∴FE∥MA，
∵M(jìn)A?平面PAB，EF??平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）∵BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴BD²+BA²=AD²，即AB⊥BD，
∴PB=$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{2}$，PA=$\sqrt{5}$，
∴AB²+PB²=PA²，即PB⊥AB，
∴PB，BD?平面PBD，PB∩BD=B，
∴AB⊥面PBD．
∵CD∥BA，
∴CD⊥面PBD
又cD?面PCD．
∴平面PCD⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行和面面垂直的判定，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．