Question

9．從雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F引圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為T(mén)，延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P，若M為線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|-|MT|與b-a的大小關(guān)系為（　�。�

• A． |MO|-|MT|＞b-a
• B． |MO|-|MT|=b-a
• C． |MP|-|MT|＜b-a
• D． 不確定

Answer 1

分析 將點(diǎn)P置于第一象限．設(shè)F₁是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF₁．由M、O分別為FP、FF₁的中點(diǎn)，知|MO|=$\frac{1}{2}$|PF₁|．由雙曲線定義，知|PF|-|PF₁|=2a，|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．由此知|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF|）+|FT|=b-a．

解答 解：將點(diǎn)P置于第一象限．
設(shè)F₁是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF₁
∵M(jìn)、O分別為FP、FF₁的中點(diǎn)，∴|MO|=$\frac{1}{2}$|PF₁|．
又由雙曲線定義得，
|PF|-|PF₁|=2a，
|FT|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|OT{|}^{2}}$=b．
故|MO|-|MT|
=$\frac{1}{2}$|PF₁|-|MF|+|FT|
=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF|）+|FT|
=b-a．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．