Question

F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，從任一焦點(diǎn)引∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為Q，則點(diǎn)Q的軌跡為（　�。�

• A、圓
• B、橢圓
• C、雙曲線
• D、拋物線

Answer 1

分析：延長F₂P，與F₁Q的延長線交于M點(diǎn)，連接QO，根據(jù)等腰三角形“三線合一”和三角形中位線定理，結(jié)合橢圓的定義證出OQ的長恰好等于橢圓的長半軸a，得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為x²+y²=a²，由此可得本題答案．

解答：解：由題意，延長F₂P，與F₁Q的延長線交于M點(diǎn)，連接QO，
∵M(jìn)P是∠F₁MB的平分線，且PQ⊥MF₁
∴△F₁MP中，|PF₁|=|PM|且Q為MF₁的中點(diǎn)
由三角形中位線定理，得|OQ|=

1

2

|MF₂|=

1

2

（|MP|+|PF₂|）
∵由橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，（2a是橢圓的長軸）
可得|MP|+|PF₂|=2a，
∴|OQ|=

1

2

（|MP|+|PF₂|）=a，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為x²+y²=a²
∴點(diǎn)Q的軌跡為以原點(diǎn)為圓心半徑為a的圓．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題在橢圓中求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的判定和三角形中位線定理等知識(shí)，屬于中檔題．