Question

1．設函數(shù)f（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{e^x}$-a，若不等式f（x）≤0有解．則實數(shù)a的最小值為（　　）

• A． 1-$\frac{1}{e}$
• B． 2-$\frac{2}{e}$
• C． 1+2e²
• D． $\frac{2}{e}$-1

Answer 1

分析 化簡f（x）≤0可得$a≥{x^3}-3x+3-\frac{x}{e^x}$，令F（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{e^x}$，則F′（x）=（x-1）（3x+3+e^-x），令G（x）=3x+3+e^-x，則G′（x）=3-e^-x，實數(shù)a的最小值為$1-\frac{1}{e}$，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：∵f（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{e^x}$-a，
∴化簡f（x）≤0可得$a≥{x^3}-3x+3-\frac{x}{e^x}$，
令F（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{e^x}$，
∴$F′（x）=3{x^2}-3+\frac{x-1}{e^x}=（x-1）（3x+3+{e^{-x}}）$，
令G（x）=3x+3+e^-x，則G′（x）=3-e^-x，
故當e^-x=3，即x=-ln3時，G（x）=3x+3+e^-x有最小值G（-ln3）=-3ln3+6=3（2-ln3）＞0，
故當x∈[-2，1）時，F(xiàn)′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，
故F（x）有最小值$F（1）=1-3+3-\frac{1}{e}=1-\frac{1}{e}$，
故實數(shù)a的最小值為$1-\frac{1}{e}$．
故選：A．

點評 本題考查實數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．