Question

9．已知函數(shù)f（x）=k|x|（x+4）-1．
（1）當(dāng)k＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=2至少有三個不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對x分類，去絕對值，利用二次函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)性
（2）根的問題轉(zhuǎn)換為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

解答 解：（1）當(dāng)x≥0時，f（x）=kx（x+4）-1，
又k＞0，
∴（0，+∞）內(nèi)函數(shù)遞增；
當(dāng)x＜0時，f（x）=-kx（x+4）-1 k＞0
函數(shù)增區(qū)間為（-∞，-2），減區(qū)間為（-2，0）．
故函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞）；減區(qū)間為（-2，0）．
（2）由（1）知當(dāng)x≥0時最小值為f（0）=-1，當(dāng)x＜0時，f（x）_max=f（-2）=4k-1

∴4k-1＞2，
∴k＞$\frac{3}{4}$，
故k的取值范圍為k＞$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 考察絕對值函數(shù)，分類討論，轉(zhuǎn)換思想，數(shù)形結(jié)合等思想．