Question

19．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x∈R，都有f（-x）=f（x），f（4-x）=f（x）成立，且已知x∈（-1，3]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（\frac{π}{2}x），x∈（-1，1]}\\{1-|x-2|，x∈（1，3]}\end{array}\right.$，則函數(shù)g（x）=4f（x）-|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共為（　　）

• A． 12個(gè)
• B． 10個(gè)
• C． 8個(gè)
• D． 6個(gè)

Answer 1

分析 由題意可得f（x）為偶函數(shù)，且為周期為4的周期函數(shù)，畫出分別畫出y=f（x）與y=$\frac{1}{4}$|x|的圖象，通過(guò)圖象觀察，可得它們有8個(gè)交點(diǎn)，即可得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：∴對(duì)任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
f（4-x）=f（x）成立，
∴f（x）為偶函數(shù)，且為周期為4的周期函數(shù)，
∵g（x）=4f（x）-|x|=0，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$|x|，
分別畫出y=f（x）與y=$\frac{1}{4}$|x|的圖象，如圖所示，
由圖象可知有8個(gè)交點(diǎn)，
故函數(shù)g（x）有8個(gè)零點(diǎn)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．