Question

17．設函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當a=$\frac{1}{3}$時，設函數(shù)g（x）=x²-2bx-$\frac{5}{12}$，若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過令a=1時，化簡函數(shù)f（x）的表達式，通過求出f（1）、f′（1）的值即可；
（Ⅱ）通過求出f′（x）的表達式，并對a的值是否為0進行討論即可；
（Ⅲ）通過（II）可知當$a=\frac{1}{3}$時函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)，則已知條件等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值$f（1）=-\frac{2}{3}$，通過對g（x）的表達式進行配方，結合x∈[0，1]討論g（x）的圖象中對稱軸與區(qū)間[0，1]的位置關系即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，
∴$f（1）=-2，{f^'}（x）=\frac{1}{x}-1$，
∴f′（1）=0，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2；
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{1}{x}-a-\frac{1-a}{x^2}=\frac{{-a{x^2}+x-（1-a）}}{x^2}=\frac{-（x-1）[ax-（1-a）]}{x^2}$，
且f（x）的定義域為（0，+∞），
下面對a的值進行討論：
（1）當a=0時，$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
（2）當a≠0時，又分以下幾種情況：
①當$\frac{1-a}{a}＞1，即0＜a＜\frac{1}{2}時$，
f（x）的增區(qū)間為$（1，\frac{1-a}{a}）$，減區(qū)間為（0，1），$（\frac{1-a}{a}，+∞）$；
②當$\frac{1-a}{a}=1，即a=\frac{1}{2}時$，f（x）在 （0，+∞）上單調遞減；
③當$\frac{1-a}{a}＜1，即a＞\frac{1}{2}或a＜0時$，又有兩種情況：
（a）當$a＞\frac{1}{2}$時，$f（x）的增區(qū)間為（\frac{1-a}{a}，1），減區(qū)間為（0，\frac{1-a}{a}），（1，+∞）$；
（b）當$a＜0時，f（x）的增區(qū)間為（0，\frac{1-a}{a}），（1，+∞）；減區(qū)間為（\frac{1-a}{a}，1）$；
（Ⅲ）當$a=\frac{1}{3}$時，由（Ⅱ）知函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上為增函數(shù)，
所以函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為$f（1）=-\frac{2}{3}$，
則對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立等價于
g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值$-\frac{2}{3}$                 （*）
又$g（x）={x^2}-2bx-\frac{5}{12}={（x-b）^2}-{b^2}-\frac{5}{12}，x∈[{0，1}]$，
①當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數(shù)，
$g{（x）_{min}}=g（0）=-\frac{5}{12}＞-\frac{2}{3}$與（*）矛盾；
②當0≤b≤1時，$g{（x）_{min}}=g（b）=-{b^2}-\frac{5}{12}$，
由$-{b^2}-\frac{5}{12}≤-\frac{2}{3}$及0≤b≤1，
可得：$\frac{1}{2}≤b≤1$；
③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數(shù)，
$g{（x）_{min}}=g（1）=\frac{7}{12}-2b≤-\frac{2}{3}$，此時b＞1；
綜上所述，b的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查導數(shù)的應用，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．