Question

已知點(diǎn)A（-2，0），B（1，0），平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=λ|PB|（λ為常數(shù)，λ＞0）．
（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程，并指出其表示的曲線的形狀．
（2）當(dāng)λ=2時(shí)，P的軌跡E與x軸交于C、D兩點(diǎn)，M是軌跡上異于C、D的任意一點(diǎn)，直線l：x=-3，直線CM與直線l交于點(diǎn)C′，直線DM與直線l交于點(diǎn)D'．求證：以C′D′為直徑的圓總過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,圓系方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由|PA|=λ|PB|得到關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，然后分λ=1和λ≠1討論軌跡E所表示的曲線；
（2）把λ=2代入（1）中所求的軌跡方程，求出曲線與x軸的交點(diǎn)，設(shè)出M的坐標(biāo)，分別寫(xiě)出直線CM和DM的方程，和直線x=-3聯(lián)立后求出以C′，D′的坐標(biāo)，得到以C′D′為直徑的圓的方程，取y=0得到具體的x的值，從而得到以C′D′為直徑的圓總過(guò)定點(diǎn)，并得到定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由|PA|=λ|PB|得：

(x+2)2+y2

=λ

(x-1)2+y2

變形整理得：（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（4+2λ²）x+4-λ²=0
當(dāng)λ=1時(shí)，化為x=-

1

2

，此時(shí)軌跡E所表示的曲線為直線．
當(dāng)λ≠1時(shí)，化為(x+

λ2+2

1-λ2

)2+y2=

9λ2

(1-λ2)2

．
此時(shí)軌跡E所表示的曲線是以(-

λ2+2

1-λ2

，0)為圓心，半徑為|

3λ

1-λ2

|的圓；
（2）λ=2時(shí)，方程(x+

λ2+2

1-λ2

)2+y2=

9λ2

(1-λ2)2

化為x²-4x+y²=0，
P的軌跡方程為x²-4x+y²=0，此時(shí)C（0，0）、D（4，0），設(shè)M（x₀，y₀），
則直線CM的方程為：y=

y0

x0

x．
聯(lián)立方程

x=-3 y= y0 x0 x

，得C′(-3，

-3y0

x0

)，
直線DM的方程為：y=

y0

x0-4

(x-4)．
聯(lián)立方程

x=-3 y= y0 x0-4 (x-4)

，D′(-3，

-7y0

x0-4

)．
∴以C'D'為直徑的圓的方程為(x+3)2+(y+

3y0

x0

)(y+

7y0

x0-4

)=0，
又

y

2 0

=4x0-

x

2 0

，整理得：(x+3)2+y2-21+

10x0-12

y0

y=0．
令y=0，則有（x+3）²-21=0，解得x=-3±

21

∴以C'D'為直徑的圓總過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為（-3±

21

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了圓系方程的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中高檔題．