Question

20．在第一象限內(nèi)，求曲線y=-x²+1上的一點，使該點處的切線與所給曲線及兩坐標(biāo)軸所圍成的面積最小．

Answer 1

分析 先求出切線方程，再表示出面積，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)切點P（t，-t²+1）（t＞0）
由y=-x²+2得y'=-2x，
∴k_l=-2t，
∴l(xiāng)的方程為：y-（-t²+1）=-2t（x-t）
令y=0，得x=$\frac{{t}^{2}+1}{2t}$，令x=0，得y=t²+1，
∴S（t）=$\frac{1}{2}$×$\frac{{t}^{2}+1}{2t}$×（t²+1）-${∫}_{0}^{1}$（-x²+1）dx=$\frac{1}{4}$（t³+2t+$\frac{1}{t}$）-$\frac{2}{3}$
∴S′（t）=$\frac{（{t}^{2}+1）（3{t}^{2}-1）}{4{t}^{2}}$，
∴0＜t＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，S′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，t＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$，S′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，S（t）取得最小值，
∴（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）為所求點．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性、最小值，屬于中檔題．