Question

1．已知函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0）的圖象（如圖所示），你能說出這個函數(shù)在哪個區(qū)間為單調(diào)函數(shù)嗎？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 利用基本不等式求得且僅當x=$\frac{2}{x}$時，函數(shù)y取得最小值，從而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性與導數(shù)的關系進行證明．

解答 解：∵函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0），∴y≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$，當且僅當x=$\frac{2}{x}$時，取等號，
故函數(shù)y在（0，$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：在（0，$\sqrt{2}$）上，∵y′=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$＜0，故函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0）在（0，$\sqrt{2}$）上單調(diào)遞減．
在（$\sqrt{2}$，+∞）上，∵y′=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，故函數(shù)y=x+$\frac{2}{x}$（x＞0）在（$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，單調(diào)性與導數(shù)的關系，屬于中檔題．