Question

8．如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2．
（1）求證：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=$\frac{2}{3}$HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)I，連接FI，證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EG∥FI，利用線面平行的判定定理證明：EG∥平面ADF；
（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）求出$\overrightarrow{BH}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$\sqrt{2}$，$\frac{4}{5}$），利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值．

解答 （1）證明：取AD的中點(diǎn)I，連接FI，
∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，
∵G，I是中點(diǎn)，
∴GI∥BD，GI=$\frac{1}{2}$BD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD．
∴EF∥GI，EF=GI，
∴四邊形EFIG是平行四邊形，
∴EG∥FI，
∵EG?平面ADF，F(xiàn)I?平面ADF，
∴EG∥平面ADF；
（2）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系O-xyz，則B（0，-$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，0，0），E（0，-$\sqrt{2}$，2），
F（0，0，2），
設(shè)平面CEF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，0，1）
∵OC⊥平面OEF，
∴平面OEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴二面角O-EF-C的正弦值為$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）解：AH=$\frac{2}{3}$HF，∴$\overrightarrow{AH}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，0，$\frac{4}{5}$）．
設(shè)H（a，b，c），則$\overrightarrow{AH}$=（a+$\sqrt{2}$，b，c）=（$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，0，$\frac{4}{5}$）．
∴a=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，b=0，c=$\frac{4}{5}$，
∴$\overrightarrow{BH}$=（-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，$\sqrt{2}$，$\frac{4}{5}$），
∴直線BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜$\overrightarrow{BH}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}|}{\sqrt{3}•\frac{2\sqrt{21}}{5}}$=$\frac{\sqrt{7}}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查證明線面平行的判定定理，考查二面角O-EF-C的正弦值，直線BH和平面CEF所成角的正弦值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．