Question

5．設(shè)變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+2y≤3}\\{4x-y≥-6}\end{array}\right.$，則z=2^x-3y的取值范圍為[$\frac{1}{128}$，16]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)m=x-3y，利用m的幾何意義求出m的取值范圍即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
設(shè)m=x-3y得y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$，
平移直線y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$，由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$經(jīng)過點A時，直線y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$的截距最大，
此時m最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=3}\\{4x-y=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（-1，2），
代入目標(biāo)函數(shù)m=x-3y得z=-1-3×2=-7．
可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$經(jīng)過點B時，直線y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{m}{3}$的截距最小，
此時m最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{4x-y=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，即B（-2，-2），
代入目標(biāo)函數(shù)m=x-3y得z=-2-3×（-2）=4．
即-7≤m≤4，
則2^-7≤z≤2⁴，
即$\frac{1}{128}$≤z≤16，
故答案為：[$\frac{1}{128}$，16]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．