Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線$x-y+\sqrt{2}=0$相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交與A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則在橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形？請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點(diǎn)到直線的距離公式及離心率公式即可求得a和b的值，求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$，聯(lián)立即可求得k的值，求得${k^2}=\frac{1}{14}＜\frac{1}{2}$，橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形．

解答 解：（Ⅰ）依題意$b=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+1}}}=1$，${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{2}$，
∴a²=2，b²=1
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（5分）
（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則其方程為y=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0…（6分）
∵△=64k⁴-4（8k²-2）（1+2k²）＞0，
∴${k^2}＜\frac{1}{2}$…（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假設(shè)在橢圓C上存在點(diǎn)P（x，y），使得四邊形OAPB為平行四邊形，
則有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}$，
∴（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（x，y）
∴$x={x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，$y={y_1}+{y_2}=k（{x_1}-2）+k（{x_2}-2）=-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}$
∵點(diǎn)P（x，y）在橢圓C上，
∴${（\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}）^2}+2{（-\frac{4k}{{1+2{k^2}}}）^2}=2$即28k⁴+12k²-1=0
解得：${k^2}=\frac{1}{14}＜\frac{1}{2}$，
所以在橢圓C上存在點(diǎn)P，使得四邊形OAPB為平行四邊形．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．