Question

已知函數(shù)f（x）=1-

a

2x+1

在R上是奇函數(shù)．
（1）求a；
（2）對x∈（0，1]，不等式s•f（x）≥2^x-1恒成立，求實數(shù)s的取值范圍；
（3）令g（x）=

1

f(x)-1

，若關于x的方程g（2x）-mg（x+1）=0有唯一實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)f（0）=0可求得a的值，然后驗證a的取值滿足函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）分離參數(shù)法，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；
（3）可先將方程化簡，然后問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在指定區(qū)間上根的分布問題，然后再進一步求解．

解答： 解：（1）由題意知f（0）=0．即1-

a

20+1

=0，
所以a=2．此時f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
而f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數(shù)，故a=2為所求．
（2）由（1）知f(x)=

2x-1

2x+1

，
因為x∈（0，1]，所以2^x-1＞0，2^x+1＞0，
故s•f（x）≥2^x-1恒成立等價于s≥2^x+1恒成立，
因為2^x+1∈（2，3]，所以只需s≥3即可使原不等式恒成立．
故s的取值范圍是[3，+∞）．
（3）因為g(x)=

1

f(x)-1

=-

2x+1

2

．
所以g（2x）-mg（x+1）=-

22x+1

2

+m

2x+1+1

2

=0．
整理得2^2x-2m•2^x-m+1=0．
令t=2^x＞0，則問題化為t²-2mt-m+1=0有一個正根或兩個相等正根．
令h（t）=t²-2mt-m+1（t＞0），則函數(shù)h（t）=t²-2mt-m+1在（0，+∞）上有唯一零點．
所以h（0）≤0或

- -2m 2×1 ＞0 (-2m)2-4×(1-m)=0

，
由h（0）≤0得m≥1，
易知m=1時，h（t）=t²-2t符合題意；
由

- -2m 2×1 ＞0 (-2m)2-4×(1-m)=0

解得

m＞0 m= -1± 5 2

，
所以m=

-1+ 5

2

．
綜上m的取值范圍是{m|m≥1或m=

-1+ 5

2

}．

點評：本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式恒成立問題的基本思路，后者一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解，第三問涉及到了利用函數(shù)思想解決方程根的分布問題．