Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點到其右準(zhǔn)線的距離為1，到右頂點的距離為

2

-1，圓O：x²+y²=a²，P為圓O上任意一點．
（1）求a，b；
（2）過點P作PH⊥x軸，垂足為H，線段PH與橢圓交點為M，求

MH

PH

；
（3）過點P作橢圓E的一條切線l，直線m是經(jīng)過點P且與切線l垂直的直線，試問：直線m是否經(jīng)過一定點？如果是，請求出此定點坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意列關(guān)于a，c的方程組，求得a，c的值，結(jié)合b²=a²-c²得答案；
（2）設(shè)出P，M的坐標(biāo)，代入橢圓方程得到P與M的縱坐標(biāo)的關(guān)系，作比后得答案；
（3）當(dāng)x₀≠±1且y₀≠0時，設(shè)出切線方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0得到切線斜率和切點坐標(biāo)間的關(guān)系，代回切線方程得到切線經(jīng)過定點（1，0）或（-1，0）；當(dāng)x₀=±1時，直線m為x軸，經(jīng)過定點（1，0）或（-1，0）；當(dāng)y₀=0時直線m為x=1或x=-1，經(jīng)過定點（1，0）或（-1，0）．

解答： 解：（1）由

a2 c -c=1 a-c= 2 -1

，
解得：a=

2

，c=1．
∴b=

a2-c2

=

( 2 )2-12

=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x₀，y₁），
則

x 2 0

2

+

y

2 1

=1，
∵

x

2 0

+

y

2 0

=2，
得

y

2 1

=1-

x 2 0

2

=1-

2- y 2 0

2

=

y 2 0

2

，
∴

MH

PH

=

y12 y02

=

2

2

；
（3）①當(dāng)x₀≠±1且y₀≠0時，
設(shè)切線l：y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓方程得x2+2[kx-(kx0-y0)]2=2，
整理得(1+2k2)x2-4k(kx0-y0)x+2(kx0-y0)2-2=0，
由△=0得，(kx0-y0)2-2k2-1=0，
即：(

x

2 0

-2)k2-2x0y0k+

y

2 0

-1=0，
又

x

2 0

+

y

2 0

=2，
故有

y

2 0

k2+2x0y0k+

x

2 0

=1，
∴k=

-x0±1

y0

，
當(dāng)k=

x0+1

-y0

時，直線m：y-y0=

y0

x0+1

(x-x0)，得y=

y0

x0+1

(x-1)，過定點（1，0）；
當(dāng)k=

x0-1

-y0

時，直線m：y-y0=

y0

x0-1

(x-x0)，得y=

y0

x0-1

(x+1)，過定點（-1，0）．
②當(dāng)x₀=±1時，直線m為x軸，經(jīng)過定點（1，0）或（-1，0）．
③當(dāng)y₀=0時，直線m為x=1或x=-1，經(jīng)過定點（1，0）或（-1，0）．
綜上所述，直線m經(jīng)過定點（1，0）或（-1，0）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強(qiáng)的運算推理的能力，是壓軸題．