Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD與平面ABCD所成的角依次是45°和arctan

1

2

，AP=2，E、F依次是PB、PC的中點．
（1）求直線EC與平面PAD所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求三棱錐P-AFD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面所成的角

專題：計算題,空間向量及應(yīng)用

分析：以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)點，空間向量，通過向量運(yùn)算解答．

解答： 解：（1）分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意，AD=4，AB=2，則各點坐標(biāo)分別是
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）；
∴E（1，0，1），F(xiàn)（1，2，1），

EC

=（1，4，-1），
又∵AB⊥平面PAD，
∴平面PAD的法向量為

n

=

AB

=（2，0，0），
設(shè)直線EC與平面PAD所成的角為α，則
sinα=

EC • n

. EC   . • . n   .

=

2

2• 18

=

2

6

，
∴直線EC與平面PAD所成的角為αrcsin

2

6

．
（2）由（1）得，

AF

=（1，2，1），

AD

=（0，4，0），
設(shè)平面AFD的法向量為

n

=（x，y，z），點P到平面AFD的距離為d，
由AD?平面AFD，

AD

•

n

=0得
x+2y+z=0且4y=0，取x=1得

n

=（1，0，-1），
∴d=

. AP • n   .

. n   .

=

2

2

=

2

，
又

.

AF

.

=

.

FD

.

=

6

，∴S_△AFD=2×

6-4

=2

2

，
∴VP-AFD=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．

點評：本題考查了空間中角的求法，及體積的求法，屬于難題．