【題目】[選修4-5:不等式選講]
已知函數(shù).
(1)解不等式:;
(2)對任意,
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
.
【解析】分析:(1)解法一:寫出分段函數(shù)的解析式,討論
的范圍,求出分段函數(shù)不同自變量范圍的不等式的解,再求這些解的并集即可.
解法二:寫出分段函數(shù)的解析式,繪制函數(shù)圖象,計算函數(shù)
與
的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)圖象確定不等式的解.
解法三:根據(jù)絕對值在數(shù)軸上的幾何意義,確定不等式的解.
(2)將恒成立問題轉(zhuǎn)化成
問題,確定
后,解關(guān)于
的一元二次不等式,即可求出實(shí)數(shù)
的取值范圍.
解法一:根據(jù)三角不等式,確定函數(shù)最小值
解法二:根據(jù)函數(shù)圖象,確定函數(shù)最小值.
詳解:(1)解法一:
當(dāng)時,
,解得:
;
當(dāng)時,
,解得:
;
當(dāng)時,
,解得:
,
所以不等式的解集為
;
(1)解法二:
,兩個函數(shù)的圖象如圖所示:
由圖像可知,兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為
和
,
所以不等式即
的解集為
(注:如果作出函數(shù)的圖象,寫出
的解集,可參照解法2的標(biāo)準(zhǔn)給分)
解法三:如圖,
設(shè)數(shù)軸上與對應(yīng)的點(diǎn)分別是
,那么
兩點(diǎn)的距離是4,因此區(qū)間
上的數(shù)都是原不等式的解。
先在數(shù)軸上找出與點(diǎn)的距離之和為
的點(diǎn),將點(diǎn)
向左移動2個單位到點(diǎn)
,這時有
,
同理,將點(diǎn)向右移動2個單位到點(diǎn)
,這時也有
,
從數(shù)軸上可以看到,點(diǎn)與
之間的任何點(diǎn)到點(diǎn)
的距離之和都小于8, 點(diǎn)
的左邊或點(diǎn)
的右邊的任何點(diǎn)到點(diǎn)
的距離之和都大于8,
所以,原不等式的解集是
(2)解法一:,
當(dāng)時“
”成立,
又任意
,
恒成立,
∴,即
,
解得:,
∴的取值范圍為
.
解法二:
作函數(shù)的圖象如圖:
由圖象可知,函數(shù)的最小值為4,
(注:如果第(1)問用解法2,可直接由(1)得最小值為4,不必重復(fù)說明)
又任意
,
恒成立,
∴,
即,
解得:,
∴的取值范圍為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2 <0”
B.命題“若sinx=siny,則x=y”的逆否命題為真命題
C.若命題p,¬q都是真命題,則命題“p∧q”為真命題
D.命題“若△ABC為銳角三角形,則有sinA>cosB”是真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x.
(1)若a= ,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x∈[1,+∞)時恒有f(x)≤a﹣1,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣lnx+a﹣1,g(x)= +ax﹣xlnx,其中a>0.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x≥1時,g(x)的最小值大于 ﹣lna,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店剛剛上市了《中國古代數(shù)學(xué)史》,銷售前該書店擬定了5種單價進(jìn)行試銷,每種單價(元)試銷l天,得到如表單價
(元)與銷量
(冊)數(shù)據(jù):
單價 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
銷量 | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根據(jù)表中數(shù)據(jù),請建立關(guān)于
的回歸直線方程:
(2)預(yù)計今后的銷售中,銷量(冊)與單價
(元)服從(l)中的回歸方程,已知每冊書的成本是12元,書店為了獲得最大利潤,該冊書的單價應(yīng)定為多少元?
附:,
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)某市供電公司數(shù)據(jù),2019年1月份市新能源汽車充電量約270萬度,同比2018年增長,為了增強(qiáng)新能源汽車的推廣運(yùn)用,政府加大了充電樁等基礎(chǔ)設(shè)施的投入.現(xiàn)為了了解該城市充電樁等基礎(chǔ)設(shè)施的使用情況,隨機(jī)選取了200個駕駛新能源汽車的司機(jī)進(jìn)行問卷調(diào)查,根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照
,
,…,
分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值并估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(2)已知滿意度評分值在內(nèi)的男女司機(jī)人數(shù)比為
,從中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談,求2人均為女司機(jī)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中中,曲線
的參數(shù)方程為
為參數(shù),
). 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)求曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)是曲線
上的一個動點(diǎn),當(dāng)
時,求點(diǎn)
到直線
的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn , a1=a2=2,且滿足Sn+Sn+1+Sn+2=3n2+6n+5,則S47等于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是軌跡
上位于第一象限且在直線
右側(cè)的動點(diǎn),若以
為圓心,線段
為半徑的圓
與
有兩個公共點(diǎn).試求圓
在右焦點(diǎn)
處的切線
與
軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.
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