Question

12．正棱錐S-ABCD的底面邊長為4，高為1，求
（1）棱錐的側(cè)棱長和斜高；
（2）棱錐的表面積與體積．

Answer 1

分析 （1）設SO為正四棱錐S-ABCD的高，則SO=1，作OM⊥BC，則M為BC 中點，連結OM，OB，則SO⊥OB，SO⊥OM，由此能求出棱錐的側(cè)棱長和斜高．
（2）棱錐的表面積S=S_{正方形ABCD}+4S_△SBC，由此能求出表面積，利用體積公式求解結果．

解答 解：（1）設SO為正四棱錐S-ABCD的高，則SO=1，
作OM⊥BC，則M為BC 中點，
連結OM，OB，則SO⊥OB，SO⊥OM，
BC=4，BM=2，則OM=2，OB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△SOD中，SB=$\sqrt{S{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{1+8}$=3，
在Rt△SOM中，SM=$\sqrt{5}$，
∴棱錐的側(cè)棱長為3，斜高為$\sqrt{5}$．
（2）棱錐的表面積：
S=S_{正方形ABCD}+4S_△SBC
=4×4+4×（$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{5}$）
=16+8$\sqrt{5}$．
幾何體的體積為：$\frac{1}{3}×4×4×1$=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查棱錐的側(cè)棱長和斜高及棱錐的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．