Question

2．如圖，直線l是湖岸線，O是l上一點(diǎn)，弧$\widehat{AB}$是以O(shè)為圓心的半圓形棧橋，C為湖岸線l上一觀景亭，現(xiàn)規(guī)劃在湖中建一小島D，同時(shí)沿線段CD和DP（點(diǎn)P在半圓形棧橋上且不與點(diǎn)A，B重合）建棧橋，考慮到美觀需要，設(shè)計(jì)方案為DP=DC，∠CDP=60°且圓弧棧橋BP在∠CDP的內(nèi)部，已知BC=2OB=2（km），設(shè)湖岸BC與直線棧橋CD，DP是圓弧棧橋BP圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為S（km²），∠BOP=θ
（1）求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）試判斷S是否存在最大值，若存在，求出對應(yīng)的cosθ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦定理和和三角形的面積公式，即可表示函數(shù)關(guān)系式，
（2）存在，存在，S′=$\frac{1}{2}$（3cosθ+3$\sqrt{3}$sinθ-1），根據(jù)兩角和差的余弦公式即可求出．

解答 解：（1）在△COP中，
CP²=CO²+OP²-2OC•OPcosθ=10-6cosθ，
從而△CDP得面積S_△CDP=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CP²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（5-3cosθ），
又因?yàn)椤鰿OP得面積S_△COP=$\frac{1}{2}$OC•OP=$\frac{3}{2}$sinθ，
所以S=S_△CDP+S_△COP-S_扇形OBP=$\frac{1}{2}$（3sinθ-3$\sqrt{3}$cosθ-θ）+$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，0＜θ＜θ₀＜π，cosθ₀=$\frac{1-\sqrt{105}}{12}$，
當(dāng)DP所在的直線與半圓相切時(shí)，設(shè)θ取的最大值為θ₀，此時(shí)在△COP中，OP=1，
OC=3，∠CPO=30°，CP=$\sqrt{10-6cos{θ}_{0}}$=6sinθ₀，cosθ₀=$\frac{1±\sqrt{105}}{12}$，
（2）存在，S′=$\frac{1}{2}$（3cosθ+3$\sqrt{3}$sinθ-1），
令S′=0，得sin（θ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{6}$，
當(dāng)0＜θ＜θ₀＜π，S′＞0，所以當(dāng)θ=θ₀時(shí)，S取得最大值，
此時(shí)cos（θ₀+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{35}}{6}$，
∴cosθ₀=cos[（θ₀+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（θ₀+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（θ₀+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1-\sqrt{105}}{12}$

點(diǎn)評 本題考查了利用三角形有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，解決問題的能力，屬于中檔題．