Question

15．已知集合A={x|2${\;}^{x-{x}^{2}}$＞1}，B={x|lg（x²-2ax+a²+1）＞0}
（1）當a=1時，求A∩B
（2）若A∪B=R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 解指數不等式可得A=（0，1），解對數不等式可得B=（∞，a）∪（a，+∞），
（1）將a=1代入，結合集合的交集運算，可得A∩B
（2）若A∪B=R，則a∈（0，1）

解答 解：若2${\;}^{x-{x}^{2}}$＞1，則x-x²＞0，解得：x∈（0，1），
故A=（0，1），
若lg（x²-2ax+a²+1）＞0，
則x²-2ax+a²+1＞1，
解得：x≠a，
故B=（∞，a）∪（a，+∞），
（1）當a=1時，A∩B=（0，1）∩（-∞，1）∪（1，+∞）=（0，1），
（2）若A∪B=R，則a∈（0，1）

點評 本題考查的知識點是集合的交集，并集及補集運算，指數不等式和對數不等式的解法，難度中檔．