Question

20．在2014年亞洲移動通信博覽會上，中國移動表示投資將超過2400億元，根據(jù)規(guī)劃，某地移動公司需要在如圖所示的三角形地帶OAC區(qū)域內(nèi)建造甲、乙兩個基站，甲站建立在區(qū)域BOC內(nèi)，乙站建立區(qū)域AOB內(nèi)，分界線OB固定，且OB=（1+$\sqrt{3}$）km，邊界線AC始終過點B，∠AOC=75°，∠AOB=30°，設OA=x（3≤x≤6）km，OC=ykm
（1）試將y表示成x的函數(shù)，并求出函數(shù)y的解析式
（2）當x取何值時，兩個基站的占地面積S_△OAC最�。坎⑶蟪鲎钚∶娣e．

Answer 1

分析 （1）由圖形知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC，代入面積公式，求出函數(shù)y的解析式；
（2）由（1）知，函數(shù)y的解析式，求出S_△AOC的表達式，利用基本不等式求出S_△OAC最小時，x的取值以及最小面積是什么．

解答 解：（1）結合圖形可知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC．
于是，$\frac{1}{2}$x（1+$\sqrt{3}$）sin30°+$\frac{1}{2}$y（1+$\sqrt{3}$）sin45°=$\frac{1}{2}$xysin75°，
解得：y=$\frac{\sqrt{2}x}{x-2}$，（其中3≤x≤6）．
（2）由（1）知，y=$\frac{\sqrt{2}x}{x-2}$（3≤x≤6），
因此，S_△AOC=$\frac{1}{2}$xysin75°
=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$•$\frac{{x}^{2}}{x-2}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$[（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4]
≥2+2$\sqrt{3}$（當且僅當x-2=$\frac{4}{x-2}$，即x=4時，等號成立）．
∴當x=400米時，整個中轉站的占地面積S_△OAC最小，最小面積是（2+2$\sqrt{3}$）×10⁴平方米．

點評 本題考查了求函數(shù)的解析式以及利用基本不等式求函數(shù)的最值問題，解題時應根據(jù)題意，列出等量關系，求出函數(shù)的解析式，是綜合題．