Question

6．函數f（x）=2$\sqrt{3}$cos²ωx+2sinωcosωx-$\sqrt{3}$（ω＞0），其圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為$\frac{2}{3}$π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求g（x）在[0，$\frac{4π}{3}$]上的單調增區(qū)間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求方程g（x）=t（0＜t＜2）在[0，$\frac{8}{3}$π]內所有實根之和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數的周期性，求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的單調性求得g（x）在[0，$\frac{4π}{3}$]上的單調增區(qū)間．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，利用正弦函數的圖象，求得g（x）=t在[0，$\frac{8}{3}$π]內所有實根之和．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=2$\sqrt{3}$cos²ωx+2sinωcosωx-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0），
其圖象上相鄰兩個最高點之間的距離為$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2}{3}$π，∴ω=$\frac{3}{2}$，f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，可得y=2sin[3（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（3x-$\frac{π}{6}$） 的圖象；
再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到y(tǒng)=g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{6}$） 的圖象．
由x∈[0，$\frac{4π}{3}$]，可得$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3x}{2}$-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{4kπ}{3}$-$\frac{2π}{9}$≤x≤$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{4π}{9}$，
故g（x）在[0，$\frac{4π}{3}$]上的單調增區(qū)間為[0，$\frac{4π}{9}$]、[$\frac{10π}{9}$ $\frac{4π}{3}$]．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期為$\frac{4π}{3}$，
故g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{8}{3}$π]內恰有2個周期，
g（x）-t在[0，$\frac{8}{3}$π]內恰有4個零點，設這4個零點分別為x₁，x₂，x₃，x₄，
由函數g（x）的圖象特征可得$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{4π}{9}$，$\frac{{x}_{3}{+x}_{4}}{2}$=$\frac{4π}{9}$+$\frac{4π}{3}$，∴x₁+x₂+x₃+x₄=$\frac{40π}{9}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的單調性，正弦函數的圖象，屬于中檔題．