Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+x+1}{{e}^{x}}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）與直線y=b（b∈R）有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）過點(diǎn)P（-1，0）可作幾條直線與曲線y=f（x）相切？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）確定函數(shù)的極值，利用曲線y=f（x）與直線y=b（b∈R）有3個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）設(shè)切點(diǎn)，求出切線方程，確定切點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可確定過點(diǎn)P（-1，0）可作幾條直線與曲線y=f（x）相切．

解答 解：（1）f′（x）=（x-x²）e^-x，
由f′（x）＞0，可得0＜x＜1，f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0），（1，+∞）；
（2）由（1），f（0）=1，f（1）=$\frac{3}{e}$，
∵曲線y=f（x）與直線y=b（b∈R）有3個(gè)交點(diǎn)，
∴1＜b＜$\frac{3}{e}$；
（3）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則f′（m）=（m-m²）e^-m，
∴切線方程為y-n=（m-m²）e^-m（x-m），
代入（-1，0），整理可得m³+m²+1=0，
設(shè)g（m）=m³+m²+1，g′（m）=3m²+2m，
由g′（m）＞0，可得m$＜-\frac{2}{3}$或m＞0，g′（m）＜0，可得-$\frac{2}{3}$＜m＜0，
∴函數(shù)g（m）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-$\frac{2}{3}$，0），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-$\frac{2}{3}$），（0，+∞）；
∵g（-$\frac{2}{3}$）＞0，g（0）＞0，
∴g（m）=0有唯一解，
∴過點(diǎn)P（-1，0）可作1條直線與曲線y=f（x）相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，切線方程的求法，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難度比較大的題目．