【題目】如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直,∠BAC90°,ABAC=AA12,點M,N分別為A1B和B1C1的中點.

(1)求異面直線A1B與NC所成角的余弦值;

(2)求A1B與平面NMC所成角的正弦值.

【答案】(1)2

【解析】

(1)以點A為原點,分別以AB,ACAA1x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出異面直線A1BNC所成角的余弦值;

(2)求出平面MNC的一個法向量,利用向量法能求出A1B與平面NMC所成角的正弦值.

(1)證明:以點為坐標原點,分別以直線,軸,軸,軸建立空間直角坐標系,于是,,.

,

設異面直線所成角為,則

.

∴異面直線所成角的余弦值為.

(2),,,

是平面的一個法向量,則

,取,

設向量和向量的夾角為,

,

與平面所成角的正弦值為.

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