【題目】已知橢圓()的左、右焦點分別為, ,點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在斜率為2的直線,使得當直線與橢圓有兩個不同交點時,能在直線上找到一點,在橢圓上找到一點,滿足?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)不存在,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)由焦點坐標可得,再根據及點在橢圓上,可得,進而可得橢圓的方程;(2)設直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得,與判別式為正可得,再根據平行四邊形性質及韋達定理可得點的縱坐標范圍是,可判定點不在橢圓上,所以這樣的直線不存在.
試題解析:(1)設橢圓的焦距為,則,
因此橢圓方程為
在橢圓上, 解得
故橢圓的方程為.
(2)假設存在這樣的直線 設直線的方程為,
設, , , , 的中點為,
由得,
所以,且,則,
由知四邊形為平行四邊形,
而為線段的中點,因此, 也是線段的中點,
所以,可得,
又,所以,
因此點不在橢圓上.
所以這樣的直線l不存在
【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓的標準方程、韋達定理以及解析幾何中的存在性問題,屬于難題.解決存在性問題,先假設存在,推證滿足條件的結論,若結論正確則存在,若結論不正確則不存在,注意:①當條件和結論不唯一時要分類討論;②當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件;③當條件和結論都不知,按常規(guī)方法題很難時采取另外的途徑.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校高一學生共有500人,為了了解學生的歷史學習情況,隨機抽取了50名學生,對他們一年來4次考試的歷史平均成績進行統(tǒng)計,得到頻率分布直方圖如圖所示,后三組頻數成等比數列.
(1)求第五、六組的頻數,補全頻率分布直方圖;
(2)若每組數據用該組區(qū)間中點值(例如區(qū)間[70,80)的中點值是
75作為代表,試估計該校高一學生歷史成績的平均分;
(3)估計該校高一學生歷史成績在70~100分范圍內的人數.
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【題目】已知圓為參數和直線 其中為參數, 為直線的傾斜角.
(1)當時,求圓上的點到直線的距離的最小值;
(2)當直線與圓有公共點時,求的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱VA⊥底面ABCD,點E為VA的中點.
(Ⅰ)求證:VC∥平面BED;
(Ⅱ)求證:平面VAC⊥平面BED.
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【題目】已知直線l過點P(0,2),斜率為k,圓Q:x2+y2﹣12x+32=0.
(1)若直線l和圓相切,求直線l的方程;
(2)若直線l和圓交于A、B兩個不同的點,問是否存在常數k,使得+與共線?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】關于圓周率,數學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值:先請200名同學,每人隨機寫下一個都小于1的正實數對(x,y);再統(tǒng)計兩數能與1構成鈍角三角形三邊的數對(x,y)的個數m;最后再根據統(tǒng)計數m來估計的值.假如統(tǒng)計結果是m=56,那么可以估計__________.(用分數表示)
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【題目】已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓過點,離心率為, , 是橢圓的長軸的兩個端點(位于右側),是橢圓在軸正半軸上的頂點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在經過點且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點和,使得向量與共線?如果存在,求出直線方程;如果不存在,請說明理由.
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【題目】命題p:函數y=log2(x2﹣2x)的單調增區(qū)間是[1,+∞),命題q:函數y=的值域為(0,1),下列命題是真命題的為( )
A.p∧q
B.p∨q
C.p∧(¬q)
D.¬q
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