Question

如圖，PA垂直⊙O所在平面ABC，AB為⊙O的直徑，PA=AB，BF=，C是弧AB的中點．
（1）證明：BC⊥平面PAC；
（2）證明：CF⊥BP；
（3）求二面角F-OC-B的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)及已知PA⊥平面ABC，可得BC⊥PA．再利用∠ACB是直徑所對的圓周角，可得BC⊥AC．再利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）由于PA⊥平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)即可得到OC⊥PA．再利用等腰三角形的性質(zhì)可得OC⊥AB，得到OC⊥平面PAB，取BP的中點為E，連接AE，可得OF∥AE，AE⊥BP，進而得到BP⊥平面CFO即可．
（3）利用（2）知OC⊥平面PAB，可得OF⊥OC，OC⊥OB，于是∠BOF是二面角F-OC-B的平面角．由已知可得∠FOB=45°即可得出．
解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB是直徑所對的圓周角，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（2）∵PA⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥PA．
∵C是弧AB的中點，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
又O是AB的中點，∴OC⊥AB．
又∵PA∩AB=A，∴OC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴BP⊥OC．
設BP的中點為E，連接AE，則OF∥AE，AE⊥BP，
∴BP⊥OF．
∵OC∩OF=O，∴BP⊥平面CFO．又CF?平面CFO，∴CF⊥BP．
（3）解：由（2）知OC⊥平面PAB，∴OF⊥OC，OC⊥OB，
∴∠BOF是二面角F-OC-B的平面角．
又∵BP⊥OF，∠FBO=45°，∴∠FOB=45°，
∴，即二面角FOOC-B的平面角的正弦值為．
點評：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、二面角等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．