Question

20．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，且{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是公差為d的等差數(shù)列，則d的值組成的集合為{1或$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 由{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是以1首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列，知S_n=a_n+（n-1）da_n，故S_n-1=a_n-1+（n-2）da_n-1．所以a_n=a_n+（n-1）da_n-a_n-1-（n-2）da_n-1，整理可得（n-1）da_n-（n-1）da_n-1=（1-d）a_n-1，由此入手，能夠求出d．

解答 解：∵{$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=1+（n-1）d，
∴S_n=a_n+（n-1）da_n，①
S_n-1=a_n-1+（n-2）da_n-1．②
①-②得：
a_n=a_n+（n-1）da_n-a_n-1-（n-2）da_n-1，
整理可得
（n-1）da_n-（n-1）da_n-1=（1-d）a_n-1，
假設(shè)d=0，那么$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=1，
S₁=a₁，S₂=a₁+a₂=a₂，
∴a₁=0，∵a₁為除數(shù)，不能為0，∴d≠0．
在此假設(shè)a_n的公差為d′，∴有d′=$\frac{（1-d）{a}_{n-1}}{1-d}$，
當(dāng)d=1時(shí)，d′=0，a_n是以a₁為首項(xiàng)，0為公差的等差數(shù)列．
當(dāng)d≠1時(shí)，a_n-1=（n-1）$\frac{dd′}{1-d}$，
a_n-a_n-1=$\frac{dd′}{1-d}$=d′，
∴d=$\frac{1}{2}$，
此時(shí)，a_n是以d′為首項(xiàng)，d′為公差的等差數(shù)列．
綜上所述，d=1，或d=$\frac{1}{2}$．
故答案為：{1或$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大．