Question

6．根據(jù)新修訂的“環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”指出空氣質(zhì)量指數(shù)在0-50，各類人群可正�；顒�(dòng)．某市環(huán)保局在2014年對(duì)該市進(jìn)行為期一年的空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)，得到每天的空氣質(zhì)量指數(shù)．從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本進(jìn)行分析報(bào)告，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[40，50），由此得到樣本的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，如圖，
（1）求a的值
（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)這一年度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值
（3）用著50個(gè)樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全年的總體數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，如果空氣質(zhì)量指數(shù)不超過(guò)20，就認(rèn)定空氣質(zhì)量為“最優(yōu)等級(jí)”，從這一年的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2天的數(shù)值，其中達(dá)到“最優(yōu)等級(jí)‘的天數(shù)為ζ，求ζ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）頻率分布直方圖中每一個(gè)矩形的面積表示頻率，先算出頻率，在根據(jù)頻率和為1，算出a的值；
（2）利用每個(gè)小矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)的空氣質(zhì)量中間值，再加起來(lái)即為所求；
（3）指數(shù)達(dá)到“最優(yōu)等級(jí)”的概率為0.3，則ξ～B（2，0.3），分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）再列出表格求出期望．

解答 解：（1）由題意得，（0.01+a+0.032+0.03+0.008）×10=1，解得a=0.02
（2）50個(gè)樣本中空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為
$\overline{X}$=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6
由樣本估計(jì)總體，可估計(jì)這一年度空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值為25.6
（3）利用樣本估計(jì)總體，該年度空氣質(zhì)量指數(shù)在[0，20]內(nèi)為“最優(yōu)等級(jí)”，
且指數(shù)達(dá)到“最優(yōu)等級(jí)”的概率為0.3，則ξ～B（2，0.3）
ξ的可能取值為0，1，2，則P（ξ=0）=C${\;}_{2}^{0}$（0.3）⁰×（0.7）²=$\frac{49}{100}$，
P（ξ=1）=C${\;}_{2}^{1}$（0.3）¹×（0.7）¹=$\frac{42}{100}$，P（ξ=2）=C${\;}_{2}^{2}$（0.3）²×（0.7）⁰=$\frac{9}{100}$，
ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{49}{100}$	$\frac{42}{100}$	$\frac{9}{100}$

期望Eξ=0×$\frac{49}{100}$+1×$\frac{42}{100}$+2×$\frac{9}{100}$=0.6（或者Eξ=2×0.3=0.6）
故答案為：（1）0.02（2）25.6（3）分布列如上表，期望0.6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖中每一個(gè)矩形的面積表示頻率，二項(xiàng)分布的概率公式和期望公式，屬于中檔題