Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}+m}$，m∈R
（Ⅰ）若x=1是f（x）的極值，求m的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)＜a＜b＜1時(shí)，有be^a+a＜ae^b+b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由x=1是f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（1）=0，可得m=0，檢驗(yàn)即可；
（Ⅱ）取m=-1，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x（1-x）-1，再求導(dǎo)數(shù)，判斷在x＞0上的單調(diào)性，再運(yùn)用條件，結(jié)合單調(diào)性即可得證．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}+m}$，則f′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）+m}{（{e}^{x}+m）^{2}}$，
由x=1是f（x）的極值點(diǎn)，得f′（1）=$\frac{m}{（e+m）^{2}}$=0，
解得m=0，
此時(shí)f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是f（x）的極值點(diǎn)．
則所求的實(shí)數(shù)m的值為0．
（Ⅱ）證明：取m=-1時(shí)，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$，此時(shí)f′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）-1}{（{e}^{x}-1）^{2}}$．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x（1-x）-1，
則h'（x）=e^x（1-x）+e^x（-1）=-xe^x在（0，+∞）上恒負(fù)，
即有h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
即有h（x）＜h（0）=0，
故f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
說明f（x）=$\frac{x}{{e}^{x}-1}$在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
即有當(dāng)0＜a＜b＜1時(shí)，$\frac{{e}^-1}＜\frac{a}{{e}^{a}-1}$，
又因?yàn)閑^b＞e^a＞1，所以e^b-1＞0，e^a-1＞0，
則有b（e^a-1）＜a（e^b-1），
所以be^a+a＜ae^b+b成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．