Question

在△ABC中，頂點B（-1，0），C（1，0），G，I分別是△ABC的重心和內心，且

IG

∥

BC

．
（1）求頂點A的軌跡M的方程；
（2）過點C的直線交曲線M于P，Q兩點，H是直線x=4上一點，設直線CH，PH，QH的斜率為k₁，k₂，k₃，試比較2k₁與k₂+k₃的大小，并加以說明．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由

IG

∥

BC

．，利用重心的性質可得|y_A|=3r，其中r為內切圓半徑．又S△ABC=

1

2

(|AB|+|AC|+|BC|)•r=

1

2

|BC|•|yA|，且|BC|=2，可得|AB|+|AC|=4，利用橢圓的定義即可得出．
（2）當直線PQ斜率存在時，設直線PQ：y=k（x-1）且P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），H（4，m），與橢圓方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用根與系數(shù)的關系、斜率計算公式即可證明；當直線PQ斜率不存在時也成立．

解答： （1）解：∵

IG

∥

BC

，∴|y_A|=3r，其中r為內切圓半徑．
又S△ABC=

1

2

(|AB|+|AC|+|BC|)•r=

1

2

|BC|•|yA|，且|BC|=2，
∴|AB|+|AC|=4，
∴頂點A的軌跡是以B、C為焦點，4為長軸長的橢圓（去掉長軸端點），
其中a=2，c=1，b=

3

，
∴

x2

4

+

y2

3

=1（y≠0）．
（2）2k₁=k₂+k₃，以下進行證明：
證明：當直線PQ斜率存在時，設直線PQ：y=k（x-1）且P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），H（4，m），
聯(lián)立

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，化為（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
可得x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
由題意：k1=

m

3

，k2=

y1-m

x1-4

，k3=

y2-m

x2-4

．
∴k2+k3=

(y1-m)(x1-4)+(y2-m)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

=

8m+8k+2kx1x2-(m+5k)(x1+x2)

x1x2-4(x1+x2)+16

=

24mk2+24m

36k2+36

=

2m

3

=2k1．
當直線PQ斜率不存在時，P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，k2+k3=

m- 3 2

3

+

m+ 3 2

3

=

2m

3

=2k1
綜上可得2k₁=k₂+k₃．

點評：本題考查了三角形的重心與內心的性質、三角形的面積計算公式、重心與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．