【題目】已知， ，點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，且直線和直線的斜率之積為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)直線與（1）中軌跡相切于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，判斷以為直徑的圓是否過(guò)軸上一定點(diǎn)？

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）設(shè)，則依題意得，利用斜率的定義計(jì)算可得軌跡方程為.

（2）法1：設(shè)直線： ，與橢圓方程聯(lián)立有，由判別式等于零可得，且，故， ，計(jì)算可得，而，可得圓的方程為，討論可得為直徑的圓過(guò)軸上一定點(diǎn).

法2：設(shè)，則曲線在點(diǎn)處切線方程為，令，得，據(jù)此可得圓的方程為，討論可得為直徑的圓過(guò)軸上一定點(diǎn).

試題解析：

（1）設(shè)，則依題意得，又， ，所以有

，整理得，即為所求軌跡方程.

（2）法1：設(shè)直線： ，與聯(lián)立得

，即，

依題意，即，

∴，得，

∴，而，得，又，

設(shè)為以為直線的圓上一點(diǎn)，則由，

得，

整理得，

由的任意性得且，解得，

綜上知，以為直徑的圓過(guò)軸上一定點(diǎn).

法2：設(shè)，則曲線在點(diǎn)處切線： ，令，得

，設(shè)，則由得

，即，

由的任意性得且，解得，

綜上知，以為直徑的圓過(guò)軸上一定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】在四棱柱中，底面是正方形，且， ．

（1）求證： ；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在棱上，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成角的正弦值為．

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【題目】如圖：在三棱錐中，是直角三角形，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)圖像在處的切線方程；

（2）證明：；

（3）若不等式對(duì)于任意的均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù)（其中）

（1）求實(shí)數(shù)m的值；

（2）已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，的值域是，求實(shí)數(shù)n與a的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的方程是： ，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線交于， 兩點(diǎn)，且，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知不等式的解集為或.

（1）求；（2）解關(guān)于的不等式

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：

（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（2）能否有99％的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，過(guò)點(diǎn)和

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間和極大值點(diǎn)；

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅲ）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

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