【題目】如圖所示，已知多面體中，四邊形為菱形，為正四面體，且.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明平面平面來證明平面；

（2）如圖，以菱形的兩條對角線所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計算二面角的余弦值.

（1）證明：因為四邊形為菱形，

所以，

又平面，平面，所以平面，

同理可得平面，

因為平面，，

所以平面平面

因為平面，所以平面.

（2）以菱形的兩條對角線所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，則，

因為為正四面體，所以點E坐標(biāo)為，

，

因為平面平面，

所以平面與平面的法向量相同.

設(shè)平面的一個法向量為，則

，即

可取.

可取為平面的法向量.

所以，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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扶貧項目

貧困戶

甲、乙、丙、丁

甲、乙、丙

丙、丁

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【題目】新型冠狀病毒肺炎COVID-19疫情發(fā)生以來，在世界各地逐漸蔓延．在全國人民的共同努力和各級部門的嚴(yán)格管控下，我國的疫情已經(jīng)得到了很好的控制．然而，每個國家在疫情發(fā)生初期，由于認(rèn)識不足和措施不到位，感染確診人數(shù)都會出現(xiàn)加速增長．如表是小王同學(xué)記錄的某國從第一例新型冠狀病毒感染確診之日開始，連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)．

日期代碼

1

2

3

4

5

6

7

8

累計確診人數(shù)

4

8

16

31

51

71

97

122

為了分析該國累計感染確診人數(shù)的變化趨勢，小王同學(xué)分別用兩種模型：

①，②對變量和的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差，且經(jīng)過計算得，，其中，，

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個模型？并簡要說明理由；

（2）根據(jù)（1）中選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程；

（3）如果第9天該國仍未采取有效的防疫措施，試根據(jù)（2）中所求的回歸方程估計該國第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)．（結(jié)果保留為整數(shù)）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．

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