Question

4．已知無窮等比數(shù)列{a_n}的公比為q，前n項(xiàng)和為S_n，且$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=S，下列條件中，使得2S_n＜S（n∈N^*）恒成立的是（　　）

• A． a₁＞0，0.6＜q＜0.7
• B． a₁＜0，-0.7＜q＜-0.6
• C． a₁＞0，0.7＜q＜0.8
• D． a₁＜0，-0.8＜q＜-0.7

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出${a}_{1}（2{q}^{n}-1）＞0$，由此利用排除法能求出結(jié)果．

解答 解：∵${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，S=$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，-1＜q＜1，
2S_n＜S，
∴${a}_{1}（2{q}^{n}-1）＞0$，
若a₁＞0，則${q}^{n}＞\frac{1}{2}$，故A與C不可能成立；
若a₁＜0，則qⁿ$＜\frac{1}{2}$，
在B中，a₁＜0，-0.7＜q＜-0.6故B成立；
在D中，a₁＜0，-0.8＜q＜-0.7，此時(shí)q²＞$\frac{1}{2}$，D不成立．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．