Question

3．已知等腰直角△ABC，AB=AC=4，點(diǎn)P，Q分別在邊AB，BC上，$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ}）•\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow 0$，直線MN經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則|$\overrightarrow{AP}$|=（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{8}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 可作出圖形，根據(jù)條件便可得出PM⊥BC，Q為PM的中點(diǎn)，可設(shè)△ABC的重心為G，則由題意即可得到AG⊥BC，從而有AG∥PM，而由條件可以得到點(diǎn)A為PN的中點(diǎn)，并可求得$AG=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，從而便可得到$PQ=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，這樣由△PBQ為等腰直角三角形即可求出PB的值，而AB=4，從而便可得出$|\overrightarrow{AP}|$的值．

解答 解：如圖，設(shè)△ABC的重心為G，由條件知BC=$4\sqrt{2}$，△ABC為等腰直角三角形，∴$AG=\frac{2\sqrt{2}}{3}$；

$（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BQ}）•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴PQ⊥BC，且$\overrightarrow{PM}=2\overrightarrow{PQ}$；
∴PM⊥BC，且Q為PM的中點(diǎn)；
又AG⊥BC；
∴AG∥PM；
由$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{AN}$；
∴A為PN的中點(diǎn)；
∴PM=2AG；
∴$PQ=AG=\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
△PBQ為等腰直角三角形，∠B=45°，∠PQB=90°；
∴$PB=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{3}$，AB=4；
∴$AP=4-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$；
即$|\overrightarrow{AP}|=\frac{8}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形重心的概念及重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，向量加法及數(shù)乘的幾何意義，向量垂直的充要條件，以及三角形中位線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義．